2.7.1 左截断（left truncated）和平移（shifted）
【定义】：左截断平移变量定义为：
\[
Y^p = X - d|X>d = \begin{cases}
\text{NA}, \quad X\le d \\
X - d, \quad X> d
\end{cases}
\]
其中，\(d\) 为给定常数，且 \(\Pr(X > d) > 0\)。
\(Y^p\) 也称之为 超额损失变量 （excess loss variable）。
\(Y^p\) 是 \(X\) 在 \(d\) 处左截断得到的，原因在于任意 \(X\) 小于 \(d\) 的值都是无法观测到
\(Y^p\) 左截断之后向左平移得到的，因此在截断基础上减少了 \(d\)
随机变量 \(Y^p\) 的数学期望称之为 平均超额损失函数：
\[
e_X(d):=\mathbb{E}(Y^p)=\mathbb{E}(X-d|X>d)
\]
当 \(X\) 表示保险事故造成的损失金额，\(d\)表示保险免赔额时，则平均超额损失表示已发生的超过免赔额 \(d\) 的期望索赔金额
当 \(X\) 是死亡年龄，平均超额损失表示为已知某人在年龄 \(d\) 存活的情况下的期望预期寿命
平均超额损失函数表示为
\[
{{e}_{X}}(d)=\mathbb{E}\left( X-d|X>d \right)=\frac{\int_{d}^{\infty }{{S}(x)dx}}{S(d)}.
\]
【证明】：
\[\begin{align*}
{{e}_{X}}(d)&=\frac{\int_{d}^{\infty }{(x-d)f(x)dx}}{1-F(d)}\\
&=\frac{-(x-d)S(x)|_{d}^{\infty }+\int_{d}^{\infty }{S(x)dx}}{S(d)}\\
&=\frac{\int_{d}^{\infty }{S(x)dx}}{S(d)}.
\end{align*}\]
下面证明 \((x-d)S(x)|_{d}^{\infty }=0\)
\[\begin{align*}
& \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xS(x)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,x\int\limits_{x}^{\infty }{f(t)dt} \\
& =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{x}^{\infty }{xf(t)dt} \\
& \le \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{x}^{\infty }{tf(t)dt} \\
& =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \int\limits_{0}^{\infty }{tf(t)dt}-\int\limits_{0}^{x}{tf(t)dt} \right]=0
\end{align*}\]
